卡尔・古斯塔夫・雅克布・雅克比（Carl Gustav Jacob Jacobi）1804 年 12 月 10 日出生在德意志普鲁士的波茨坦，他是银行家西蒙・雅可比的第二个儿子。
青年雅可比在数学方面的发展，在某些方面与他的对手 —— 阿贝尔相同。雅可比也学习大师们的著作；从欧拉和拉格朗日的著作中，他学会了代数、分析以及数论。通过自学，雅克比在椭圆函数方面做出了杰出的贡献（后面详细介绍）。就运算能力而言，除了印度数学天才拉马努金以外，没有人能与欧拉和雅可比相匹敌。阿贝尔的天赋和雅可比相比，哲学的成分较多，形式的成分较少。阿贝尔在坚持严格性这一点上，比雅可比更接近于高斯（不是雅可比的工作缺乏严格性，而是它的灵感看来是形式主义的，而不是严格性的）。
阿贝尔比雅可比大两岁。雅可比不知道阿贝尔在 1820 年解决了一般五次方程问题，他在同一年试图得出一个解，把一般五次方程简化为如下形式
并且指出这个方程的解可以由某个十次方程的解推出来。虽然这个尝试失败了，但是雅可比从中学到了许多代数知识，他认为这是他的数学教育中相当重要的一步。但是他似乎没有像阿贝尔那样想到，一般五次方程可能无法用代数方法解的。这种失察，或者说缺乏想象力，是雅可比与阿贝尔之间的典型差别。
1821 年 4 月到 1825 年 5 月，是雅可比在柏林上大学的时期。在头两年中，他把时间平均地用在哲学、语言学和数学上。在数学方面，雅可比继续自学大师们的著作。他把大学的数学讲座恰如其分地说成是废话。
阿贝尔在 1823 年 8 月 4 日写信给霍尔姆伯（挪威数学家），说他正忙于研究椭圆函数，
这项小小的工作，涉及了椭圆超越函数的反函数，我证明了一点似乎是不可能的东西；我请求德根把它从头到尾浏览一遍，但是他找不出错误的结论，也不知道错在哪里；天知道我怎样才能让自己解脱。
一个奇怪的巧合是，雅可比最后下决心要全力从事数学的时候，几乎就是阿贝尔写这封信的时候。阿贝尔开了一个极好的头，但是雅可比很快就赶了上来。雅可比第一项伟大的工作是关于椭圆函数的。
数学生涯
1825 年 8 月，雅可比获得了哲学博士学位。取得学位以后，雅可比在柏林大学讲授微积分学对曲面和空间曲线的应用。最初几讲就明显地表明雅可比是一个很有天赋的教师。后来，他成了当时最受欢迎的数学教师。
雅可比似乎是第一个这样做的数学教师：他讲授自己的最新发现，让学生们看到新学科在他们面前创造出来，以此来训练学生做研究工作。他认为把年轻学生们扔进冰水里，由他们自己去学会游泳或者淹死是正确的。很多学生一直要到掌握了其他人做过的、与他们的问题有关的一切，才肯试着独立工作，结果只有极少数人养成了独立工作的习惯。雅可比说：
要是你的父亲坚持要先认识世界上所有的姑娘，然后再跟一个姑娘结婚，那他就永远不会结婚。
雅可比在获得柏林大学讲师职位仅仅半年以后，又于 1826 年获得柯尼斯堡大学讲师的职位。一年以后，雅可比发表的一些关于数论的研究成果，博得了高斯的称赞。由于高斯不是一个容易被惊动的人，教育部立即注意到了这件事，并把雅可比提升为副教授（年仅 23 岁）。两年以后（1829 年），当可比发表了他的第一篇杰作《椭圆函数理论的新基础》。
1832 年，雅可比的父亲去世了。1840 年家庭破产了，雅可比在 36 岁时一无所有了，并且还必须供养他的母亲，因为她也破产了。但经济困顿没有对雅可比的数学造成一点影响。他像以往一样，继续勤勉地钻研。1842 年雅可比和贝塞尔参加了在曼彻斯特举行的会议，在那里，德国的雅可比同爱尔兰的哈密顿会晤了。雅可比了解了哈密顿关于动力学的工作，并且推动了动力学的发展，这是雅可比的一项最大的光荣。
椭圆函数
雅可比做出他第一项伟大的工作是椭圆函数。椭圆函数只是单复变量函数理论的一个细节。单复变量函数理论是 19 世纪数学的一个主要领域。高斯曾经指出，每一个代数方程都有复根。
复数首先出现在某些方程的解中，如 x^2＋1=0。因式分解中也会遇到复数的问题，例如把 x^2+y^2 因式分解得到
再进一步，试着把 x^2+y^2+z^2 分解成两个一次因式。这样，正数、负数和虚数就够了吗？换句话说，为了解决这个问题需要发明某种新的“数”吗？人们发现，为了得到必需的新“数”，普通代数规则因为一个重要的细则而被瓦解：“数”乘在一起的次序“无足轻重”这一规则不再成立；也就是说，对于新数，a×b 等于 b×a 不再成立。这表明，初等代数的因式分解问题，把我们引到了复数不适用的领域。
如果我们坚持全部普通代数定律对这些数都成立，我们能走多远？什么是可能的最一般的数？在 19 世纪后半叶，人们证明了复数 x＋iy 是使普通代数成立的最一般的数。在笛卡儿几何中函数 f（x）的图形，给我们提供了实变量 x 的函数 y 的图形。如果将应用于这些函数的普通代数及推广的微积分学应用于复数，那么，早期的分析学家们发现的许多东西中一大半就会出现问题了，特别是积分学中许多令人费解的不合规则的情况，这些情况只有当复变量函数被高斯和柯西采用了的时候，才得以消除。
在椭圆函数理论中，不可避免地要出现复数。高斯、阿贝尔和雅可比通过他们对这一理论的广泛和详尽的阐述，为发现和改进单复变量函数理论的一般定理，提供了一个实验园地。这两个理论似乎注定要互相补充和完善 —— 这是有原因的，椭圆函数与二次形式的高斯定理的深刻联系。不过对空间的考虑迫使我们放弃了二次形式的理论。在椭圆函数中出现的那些范围更广的定理的特例，为一般理论提供了很多的线索，要是没有这些线索，单复变量函数的理论就会比实际发展慢得多。
椭圆函数的历史相当复杂，并且不大可能引起普通读者的兴趣。因此，我们简单概述高斯、雅可比及勒让德等人的通信。
首先，确有实据的是，高斯早在 27 年前就预见到了阿贝尔和雅可比的一些最惊人的发现。高斯确实说过，“阿贝尔走的正是我在 1798 年走过的同一条道路。" 其次，人们似乎一致同意，阿贝尔在一些重要的细节上走在雅可比前面，但是雅可比在完全不知道阿贝尔工作的情况下，做出了他的伟大发现。
椭圆函数的一个重要性质是它们的双周期性（阿贝尔在 1825 年发现的）：如果 E（x）是一个椭圆函数，那么有两个特殊的数，比如说 p_1，p_2，使得
对于变量 x 的一切值成立。
最后，在历史方面，勒让德在椭圆积分（而不是椭圆函数）上工作了 40 年，却没有注意到阿贝尔和雅可比两人几乎立刻就看到的东西，那就是只要把他的观点逆转过来，整个问题就变得无比简单了。椭圆积分首先出现在求椭圆的一段弧长这个问题中。
设 R（t）表示 t 的一个多项式，如果 R（t）是三次或四次的，形为
的积分，就称为椭圆积分；如果 R（t）的次数高于四次，这个积分称为阿贝尔积分。如果 R（t）只有二次，该积分可以很容易地用初等函数计算出来。特别有
那就是说，如果
我们就把积分的上限 x 考虑成积分本身（即 y）的一个函数。该问题的这种反演，解决了勒让德与之搏斗了 40 年的大部分困难。去掉了这个障碍之后，这些重要积分的真正理论几乎就自行冒了出来。
与阿贝尔共创椭圆函数理论，只是雅可比巨大的工作量中的一小部分，但却是非常重要的一部分。下面我们简单地提一下他所做过的其他几项伟大工作。
其他成就
雅可比是把椭圆函数理论用于数论的第一人。数论是一个奇妙而深奥的课题，复杂难懂的巧妙的代数，在数论将意想不到地揭示普通整数之间迄今未曾料想到的关系。雅可比正是用这种方法证明了费马的著名猜想：每一个整数都是 4 个整数的平方和（零也算作整数）。而且，他知道任何已知的整数能以多少种方式表示成这样的和。
动力学方面，雅可比作出了在应用科学和数理物理学两方面都具有根本重要性的、超越拉格朗日和哈密顿的第一次重大进展。熟悉量子力学的读者会想起，哈密顿 — 雅可比方程在那个革命性理论中所起到的重要作用。
在代数中，只须提及许多事情中的一件，那就是雅可比把行列式理论简化成了现在每一个学习中学代数课程的学生都熟悉的简单形式。
对于牛顿 — 拉普拉斯 — 拉格朗日的引力理论，雅可比出色地研究了该理论中反复出现的函数，并把椭圆函数和阿贝尔函数应用到椭球间的引力上，从而对引力理论作出了重大的贡献。
他在阿贝尔函数中的伟大发现，具有更高程度的独创性。这样的函数产生于一个阿贝尔积分的反演中，正如椭圆函数产生于椭圆积分的反演。这里他无路可循，有好长时间他在毫无线索的迷宫中迷失了方向。在最简单的情形下，适当的反函数是有四个周期的两个变量的函数，在一般情形下，这些函数有 n 个变量和 2n 个周期；椭圆函数相当于 n=1。这个发现之于 19 世纪的分析学，恰如哥伦布发现美洲之于 15 世纪的地理学。
傅里叶指责阿贝尔和雅可比两人把时间浪费在椭圆函数上，而没有在热传导中解决一些有待解决的问题。雅可比说：
傅里叶先生确实有过这样的看法，认为数学的主要目的是公众的需要和对自然现象的解释；但是一个像他这样的哲学家应当知道，科学的唯一目的是人类思想的荣耀，而且应该知道，在这个观点之下，数的问题与关于宇宙体系的问题具有同等价值。
今天就数理物理学而言，傅里叶的分析只是广阔得多的边值理论问题中的一个细目，傅里叶所发明的分析方法，正是在纯数学中最纯粹的部分找到了它的重要意义和它的正当理由。这些现代的研究者是否给“人类的思想”增加了荣耀，可能要留待专家们去考察了。
雅可比在 47 岁时死于天花（1851 年 2 月 18 日）。
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